词汇量不够的情况下，去搜寻提高听力口语阅读写作的技巧、能力，思维创新，都是空谈。数学同理，解题的时候，如果“数列”这个概念砖块压根没有，你就无法理解几刀把蛋糕最多切几块的问题，是要搞出一个可操作算法——提取出一个数列来。不论文理科，概念砖块积累的广度，积累到足够的数量都是最基本的第一步。
概念砖块积累，只看数量显然不够。有一种神秘现象，叫做“一听就会，一做就废”：学生上课的时候，课本里的概念名词儿很容易就懂了，甚至觉得太简单了，但是回到家，一做题却又不会做。比如老师教你“4刀最多把蛋糕切成几块”这类问题的解决公式，遇到直接套公式。好，会了。但下次遇到“铁丝穿过立方体最多可以穿透几个内部小立方体？”又不会了，看不出来这两个看似完全不同的问题，用的都是数列这一个概念。
概念如果没有真正理解，就会“一听就会，一做就废”。老师说：这是因为基础不扎实，概念没有真正理解。应该注重基本功，首先把基础搞好，再谈做题深度。
学生和家长说：可是上课明明听懂了啊！课讲得太简单，出题太难了，都是刁钻古怪诚心难为人，只筛选不培养，学习就是拼高智商，我们普娃智商不够，躺平算了…当然，家长是躺不平的，扭头怒买 50 节课外班，认为真正的秘籍绝招儿——解题技巧老师上课没讲，得去课外花钱买。
谁对谁错？其实这根本不是解题技巧，而是一个认知步骤，从听课（概念介绍）到做题（创造性应用），中间还有一个必要的认知步骤，因为这个步骤发生在学习者本人的脑子这个黑箱里，人们看不到，所以才会错误归因为解题技巧、智商和名师传授秘籍。
这个神秘现象认知科学其实已经可以解答了。简而言之，一个概念如何算是真正理解了？简单明确回答：看到一个概念，对应的 心智表征（mental representation） 有没有。
前情提要，所谓概念，就是一个符号（语言或数学），对应一类事物的抽象特征（心理模型）。比如从大大小小不太标准的现实中的圆，抽象出数学的“圆（概念来自根本属性的抽象：到圆心距离相等的点的集合）”。所以，理解一个概念，就是当你看到一个概念，脑子里有没有出现一个画面（模型、结构、过程）。
上学期期末，我家儿童语文卷子上一道错题，这不是靠死记硬背，而就是需要脑子里有画面才能做对：
题目给出四个词，“扫荡”，“荡漾”，“荡平”，“荡秋千”，“芦苇荡”，这四个词里都出现了“荡”字，哪个和“扫荡”的“荡”意思一样？
这考的就是语言的基本概念组块理解，光死记硬背不够，还要看你脑子里有没有画面。
“扫荡”的“心理画面”是平扫，清除，就好像英语的 clear（左图），
而“荡漾”“荡秋千”的心理模型是上下波动，就像英语的 oscillation（右图）
芦苇荡的“荡”是名词，是湿地。
所以对应”横向平扫动作的，清除”之意的，就是“荡平”的“荡”。
查字典，看字典的几项释义，果然如此。
字典里每个字为什么会出现好几项不同释义？几个释义，意味着该词包含着几个不同的心理表征：横向平扫清除，纵向摆动，以及沼泽湿地。不同的心理画面无法归到一项释义之下。
其实学语言的基本功不是靠老师讲做题诀窍，而是查字典。我是到大学才知道这一点，遇到不会的字，时间允许的情况下尽量要查字典，看字典的各项释义，有助于形成心理画面，形成立体的理解。在科目的学习中，不断查字典，查资料，对概念形成充分理解才是提高分数的法宝。（详细见《内驱式学习》积累的魔法：卡片大法 P370）
在语言学习中，由于语言使用来自习惯用法，只要一个人阅读量大，记忆力好，只要记住大量习惯用法，直接套用往往能够“蒙对”，也就是很多人说的“做题凭语感”。所谓“语感”究竟是什么？ 恐怕本人也说不清楚，我替他们说清楚了。其实现在从 AI 的“反向工程”来看，人类的思考也部分基于概率，“语感”就是两个词挨着的概率大于其他而已。
但是数学等讲究严格的理工科，如果学生只是记住概念词儿，鹦鹉学舌式记住词语和公式，却没有脑中形成清晰、可操作的表征（mental representation），那立马露馅，毫不留情。没有心理表征，就没法在需要时精准调用，表现就是做题没思路，又艰难又容易错。
所以哪怕幼儿数数很溜，在做加减法的时候还是会遇到大人无法理解的困难，1+8，要一个个掰指头数，家长虽然不耐烦强行忍了。再问 1+9，不会直接在刚才1+8的基础上直接加1，而是重新又掰指头从 1 数起，家长的无名火就冒出来了。
但这不是孩子的智商问题，仅仅就是数字还停留在一个语言符号，没有形成清晰的数量关系，空间关系的心理表征，所以无法产生计算策略。如果用数轴来表征'数-量关系'，孩子就不会每次做加法都从头掰指头，而是知道在数轴上再继续往前走 1 步就行了。
进位和借位也是一样，如果对“数位”没有心理画面，大脑看到的只有抽象符号，和“大数字的减去小数字”这样的抽象规则，不能理解“借位”：
但如果对“数位”这个概念，形成心理表征，就能理解为什么个位数不够了要从十位数“借”，肯定是找更多的借呀：
孩子做计算为什么错误率高？他难道真的不会做加减乘除吗？为什么会了还是总做错？“粗心”到底是怎么回事儿？错误答案脱口而出，可称之为“随机生成”。其实所有人的大脑，包括大人，甚至优等生，高智商人群，脑子的默认运行模式都是随机生成。
比如这道题，可以考自己，也可以考娃：
一个球拍和一个球总共 1.10 美元，球拍比球贵 1 美元。问球多少钱？
对不擅长数学的人，小数点进一步加重了认知负荷，可以把题变一下，去掉小数点，降低负荷：
一个球拍和一个球，总共 110 元，球拍比球贵 100 元，问球多少钱？
你算出来了吗？
大多数人会脱口而出10 元，因为 110− 100 = 10，很难抗拒“10” 的直觉诱惑。
你的答案是什么？
万一没算对，别急着情绪崩溃，骂自己或娃笨蛋或者粗心。
这道题最早来自 Shane Frederick 的研究（2005），是他设计的认知反思测试（Cognitive Reflection Test, CRT） 的三道题之一。Frederick 测试了多所大学的学生。
普通大学：绝大多数学生做错。
麻省理工学院：50% 学生做错。
耶鲁大学：半数以上做错。
普林斯顿大学：半数以上做错。
也就是说，即使是藤校学生这种高智商群体中，大脑也默认随机生成，跟咱们家里的小学生和咱们自己一样。
不管什么学历，只要是人类，大脑都会默认运行随机生成模式。这是大脑的生物属性决定的，随机生成比理性分析要节约能量，所以随机生成优先，这是大脑数百万年进化形成的优先级，毕竟史前时代节能且快速的模糊提取才是生存优势，不需要太高精确度。现代人除非受过专门的训练，锻炼出强大理性肌肉，能形成清晰心理表征，才能对随机生成的直觉模式进行克制和反向思考检验。
对于“二者总价 110 元”，我的脑子画面是一条总长 110 的软尺，“球拍比球贵 100 元”画面是软尺一头折回去一段遮住一部分，露出的部分长度有100。要怎么才能露出 100 呢？软尺一头折回去的部分只能是 5，而不是 10，短的一段（球的价格）必须是 5，折回去只遮住 5，价格差才能是 100。二者价格，长的一段（球拍价格）就是 105，短的一段是 5，所以正确答案，价格是 105 和 5，而不是 100 和 10。
但是我脑子里这个画面，我自己觉得特别直觉，简单傻子都不会搞错，讲给娃和娃爹，他俩竟然怎么都听不懂，觉得太复杂了。每个人形成心理表征时，具体联想路径是有个体差异的，直接照抄别人的解题思路往往会比自己想更费劲。你要参考别人的思路也行，但参考前，还是尽可能要自己先思考一下。你拿着自己的思路，去做对比，反而更容易理解他人的；假如自己心理完全没有任何提取的过程，没有自己思考过，直接去学别人的，理解难度更高。
而且毕竟学习的目的是练出自主形成心理表征的理性肌肉，光靠教练说得天花乱坠，肌肉还得自己练才有。就像欧几里得对国王说的话：“数学没有捷径”，必须自己脑子里真正想通。
前面讲的这些，看似都是些是小孩的题目，但搞清楚“一个概念，究竟对应什么心理模型”，这是理性思维的第一步。如果不是为了培养理性脑，我们干嘛花几十年大好人生接受教育？
比如闭着眼睛在手机上选一个常见概念，例如“概率”，看看你是否真的理解它什么意思。我以为所有人每天都在用这个词儿，大家都明白，就我最傻，一问才发现，别人并不见得就明白。
因为我要户外跑步，所以要经常看明天早上的天气预报，下雨几率一直让我很困惑，40% 几率下雨，我到底定不定早起的闹钟？ 40% 的几率存活，我到底手不手术？后来我想出来一个心理图像——把相等大气条件（水汽，气压，冷锋暖锋条件等）想成 100 个相同条件的抽屉，其中有 40% 的抽屉里下雨了。
我以为这个世界上只有我不懂“概率”这么普通的概念，拿着 Steven Pinker 这个问题去问家里人:
天气预报说有40%的可能性下雨，究竟是什么意思？
A：40% 的区域会下雨
C：40% 的气象专家认为会下雨
D：在做出下雨预报的天数里，这个区域有 40% 的天数会下雨
队友选择了离谱程度第二的一个选项：40% 的区域会下雨。
很多高大上的概念，因为听起来好听牛逼，很可能所有人都在用，但不一定细想过，它到底啥意思。这个现象极为常见。
启蒙思想家约翰·洛克，谈到人们总是把词语当做事物本身，从来不仔细思考词语究竟对应什么事物，于是滋生出来许多“博学之士”，生造大量晦涩然而好听的概念，用于迷惑人心，构建自己的权威堡垒。
“不过这种装作博学的愚昧，粉饰渊博的文字游戏，在当代已经如此畅行无阻，语言的滥用只是因为上位者为了自己利益，而存心制造出来的。因为他们觉得，要想维持自己权威的既得地位和利益，最容易的方法，就是用艰涩模糊的文字来蒙蔽忙于生计的大众，迎合无暇深究的疲惫人民的欢心；同时使聪明而懒散的人们整日忙于争辩一些无意义的名词，使他们永久陷于无底的迷洞中。
此外，要想使人相信荒谬无稽的东西，没有别的方法，只有用一大套混淆含糊、无法确定具体含义的文字来伪装。这些虚假语言构造的营寨就像盗贼的洞窟，或野兽的洞窟，而不是公平战士的堡垒。”
“对文字的滥用，消灭了知识和传达思想的工具——大量博学却愚陋之人，虽然自命人民的启蒙者，可是他们这种文字游戏的艺术已经使渴望求知，认真思考的人们远离真正的知识了。”
（《人类理解论》第三卷《论文字的滥用》 4、10 节）
由于词汇对应什么心理模型，大家不会深究，再被人刻意混淆，于是世间的欺骗，愚弄和奴役就这样横行开来。什么是文明进步的社会？就是使用清晰简明的概念和语言表达。让每个人有能力，有方法搞清楚一个概念的真正含义，并且将这个思考过程公之于众，在清晰概念的基础上探讨问题，形成共识。
文明社会的教育，也应该以培养这样的公民为目标，而不是灌输无法解释的大词，令民众从不问懂得问为什么，只会傻傻买单，顶礼膜拜。你可以拿“有没有脑内清晰的画面（图像、空间和逻辑结构）”检验一下你最近接触的各种概念，要么你会发现它的好听的营寨内空无一物；要么它是真货，你也会对它有更深入的理解。
人只能理解自己动手创造的事物。动手交互操作是最好的理解方法。
幼儿和儿童，尤其需要用 “丰富模式”引入，先用生活任务，游戏任务，交互式主动操作引入，再进入做题的严肃训练。
目标：通过动手操作+场景化游戏，让抽象概念具象化，空间化，从而实现理解迁移。
数量与空间映射
运算的动态感
多感官输入
详见《内驱式学习》第 3 章 学习五元素 P163）
大孩子，青少年，成年人的学习，使用书里讲的日常讨论明辨式思维五大句型（第5章）与明辨式思维（第9章）
目标：通过语言精确化+例证对照，让抽象词汇在脑中挂钩具体情境或模型。
（《内驱式学习》 P323）
这就是为什么晚上关灯后，睡着前，自由自在的思考非常有益，而且我也很喜欢和小孩卧谈，两人一起互相激发——关灯思考术。
关了灯之后，躺在那里，脱离了书本、电脑、手机、笔记、AI 的辅助，那些还能够在黑暗中熠熠生辉，洞若观火的脑子画面：结构、过程、点子，才是真正重要的东西，才是今天真正属于你的所得。不论白天学了多少，哪怕这一天上了 10 个小时课，读了50页书，做了几十道题，背诵了多少结论，感觉自己如此辛苦努力，学富五车，感动上苍，关灯之后，如果一个点都想不起来，那恐怕是竹篮打水。
我们用两篇文章讲完了概念的第一部分，数量和质量，下篇文章讲概念的另一部分，概念框架，只有学会自主提取框架，自然会产生强大的判断力和创造性。