接下来，我们将考虑Deligne, etc.对Picard-Lefschetz理论的代数化。
熟悉我的人都知道，20世纪后半叶的所有数学家中，我最欣赏和敬佩的就是Michael Atiyah. 很难用言语来形容我的感动。在死亡之前，一刻也不停息地思考真理。我也想成为这样的人。
让我们来谈一点数学吧。我们仅仅想补充一些历史背景，并对证明稍加评论，以期能帮助同样在试图理解这篇论文的「年轻人」。Atiyah的全集已经出到了第7卷（2014年）。从第5卷（规范理论）开始，是他学术生涯的「后半场」。然而我们要谈的内容大致不超出第2卷（K理论）。
It seems to me that not so many people are familiar with the K-theoretic definition of the topological indices, with the exception of some K-theorists (the majority of whom are working mainly on the algebraic side of the story these days, which is, in some sense, “more interesting”), to say nothing of the mod 2 index theory on spin manifolds. It is “the road not taken”, literally.
得知Atiyah预印本的当晚，我兴奋得彻夜难眠，以至于这两天生了一场小病。在身体稍微恢复后我会努力跨过这个障碍。也欢迎熟悉拓扑K理论的同学对我加以指点，或者和我讨论这个困难。
那么，让我们先来考虑Picard-Lefschetz理论及其代数化。对每根纤维应用归纳假设，让我们看看，这将把我们带向何方。
本章是漫谈的「插曲」——提及的所有结果都和Weil猜想的证明（或者更严格地说，Deligne I 中给出的证明）没有直接关联。然而如果我们把视野放宽，那么，在Weil猜想得到证明后，继续研究与代数闭链相关的种种猜想已成为现代代数几何理论的主旋律之一。
以下我们还将陈述几个代数几何 / 算术几何中的重要猜想。基本的精神是：代数闭链的特定等价类可以用Hodge结构来描述。
最后，我们想顺带提及，在非光滑的情形，上述所有猜想都可以用混合Hodge结构，Fulton-MacPherson相交同调论，反常束和D模理论等工具重构。这已超出了漫谈的范围。Maybe elsewhere? (Well, no promise!)下一章我们会回到Weil猜想，开始讨论Deligne I中给出的证明。
「拓扑征服」不是地道的汉语。然而Norman conquest确乎是地道的英语——我们取这个意思。
终于，轮到Grothendieck登场了。
Zähle die Mandeln,zähle, was bitter war und dich wachhielt,